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2013.05.28 13:03
생활수학 상식.. 세상이 다 수학이야? ㅋㅋ
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보온병은 왜 원기둥인가?
음료수병이나 보온병 등 액체를 담는 용기들은 대부분 원기둥 모양이다.
여기에는 어떤 수학적 이유가 있을까? 용기를 만들 때는 언제나 재료를 적게 들이고도 많은 양의 액체를 담을 수 있어야 한다.
원의 넓이와 일부 정다각형의 넓이 그리고 둘레의 길이를 직접 비교해 보자.
면적이 똑같이 100제곱센티미터인 정사각형의 둘레의 길이는 40cm이고 같은 면적인 정삼각형의 둘레의 길이는 45.6cm이다.
그러나 같은 면적인 원의 둘레의 길이는 약 35.4cm 밖에 안된다. 다시 말하면 넓이가 같은 원, 정사각형, 정사각형 등의 도형에서 원의 둘레의 길이가 가장 짧다.
그러므로 같은 양의 액체를 담을 수 있고 높이가 같은 용기들 가운데서 원기둥 모양의 용기가 그 옆면에 드는 재료가 가장 적다.
신문지의 두께는?
신문지 한 장이 있습니다.
두께가 0.1mm라고 가정해볼까요?
이 신문지를 50번 접으면 그 높이는 얼마나 될까요?
보통 생각하길, "뭐 두꺼워봤자 백과사전?", 생각이 좀 있으신 분은 "아파트 높이?" 정도로 생각시겠죠.
신문지를 50번 접으면, 그 두께는 112,589,990km가 된답니다. 말이 안 된다고요?
0.1mm의 신문을 한 번 접으면 0.2mm, 다시 이것을 접으면 0.4mm, 또 접으면 0.8mm, 한 번 더 접으면 1.6mm….
신문지의 두께는 "기하급수적" 으로 늘어나게 되는 것입니다.
계산을 해 보면.. (0.1mm) x 2 x 2 x 2 x … = (0.1mm) x 2^50 = 112589990684262.4mm 가 되는 겁니다.
빛은 약 300,000km/s로 직진하죠, 태양의 빛이 지구에 도달하는 시간을 약 8분 20초라고 가정하면, 태양에서 지구까지의 거리는 약 150,000,000km 로 계산됩니다.
112,589,990km짜리 신문지 50번을 접은 것 세 개만 있으면 지구와 태양을 왕복할 수 있군요.
원의 각도가 360도인 까닭?
오늘날 원이 360도라는 것은 누구나 알고 있는 사실이다.
그럼 누가 맨 처음 원은 360도라고 정했을까?
지금으로부터 약 4000년 전 지금의 이라크, 시리아, 이스라엘 등의 나라가 자리잡고 있는 땅에 바빌로니아라는 아주 수준이 높은 문명을 이룩한 나라가 있었다.
이 바빌로니아는 옛날부터 수학이 발달하여 수의 진법, 각도, 측량 기술 등에 대한 연구가 활발했다. 이 때, 만들어진 1주일(7일), 시간의 12진법, 60진법 등은 오늘날에도 쓰이고 있는 것들이다.
이 바빌로니아 사람들은 1년을 12달로 보고, 다시 한 달을 30일로 나누어 날짜를 계산하였다.
그리고 그 시간의 오차는 '윤년'이라는 해를 두어, 그 해는 1년을 13개월로 계산하였다. (이 방법은 우리 나라 윤년과 비슷하다.)
그런데 이 때의 사람들은 특별한 달력이 없었고 1년을 원으로 나타내었다.
그래서 1년을 360일이라 하였다. 그리고 자연히 원의 각도가 360도가 되었다.
A4용지의 비밀
복사용지를 포함해 가장 많이 사용되고 있는 종이가 바로 A4 용지다.
A4 용지의 규격은 297mm×210mm이다.
단순하게 300mm×200mm로 정하면 훨씬 편했을 텐데 왜 이렇게 복잡한 수치가 쓰였을까?
게다가 A4 용지는 우리 눈에 가장 아름답게 보인다는 황금비를 이루지도 않는다.
황금비는 (1 +√5) / 2≒1.618인 반면, A4 용지의 폭에 대한 길이의 비는 약 1.414이다.
(종이의 경제학)
일상 생활에서 사용되는 종이는 제지소에서 만든 큰 규격의 전지를 절반으로 자르고 또다시 절반으로 자르는 과정을 반복하면서 만들어진다.
그런데 이렇게 절반으로 자르다 보면, 원래의 규격과 다른 모양이 될 수 있다.
예를 들어 300mm×200mm와 같이 폭에 대한 길이의 비가 1.5인 종이를 절반으로 자르면, 200mm×150mm 크기로 만들어지고 이때의 비는 1.333(4/3)이다.
1.333의 비를 가진 직사각형은 1.5의 비를 가진 처음 종이에 비해 뭉툭해 보인다.
이런 종이를 실생활에 필요한 용도로 이용하기 위해서는 일부를 잘라내어 보기 좋은 형태로 만들어야 한다.
그렇게 되면 아까운 종이와 펄프를 낭비하게 된다.
독일공업규격 위원회(Deutsche Industrie Normen)는 큰 종이를 잘라서 작은 종이를 만드는 과정에서 종이의 낭비를 최소로 줄일 수 있는 종이의 형태와 크기를 제안했다. 적절한 규격을 선택했을 때, 타자지의 절반을 그대로 편지지로 사용하고 편지지의 절반을 그대로 메모지로 사용한다면 종이를 많이 절약할 수 있을 것이라고 여겼다.
이렇게 해서 등장한 것이 A4 용지다.
(문제는 닮은꼴)
절반으로 자르는 과정에서 만들어지는 종이를 그대로 사용하기 위해서는 어떻게 해야 할까.
우선 전지의 규격이 보기 좋아야 하고, 이를 절반으로 자르고 또다시 절반으로 자른 작은 종이들이 전지의 규격과 같으면 바람직하다.
수학적으로 말하면 서로 닮은꼴이어야 한다는 얘기다.
(전지의 길이) : (폭)을 x : 1이라고 하자.
그러면 이것을 절반으로 자른 (종이의 길이) : (폭)은 1 : x/2 이다.
두 직사각형이 서로 닮은꼴이므로 비례식 x : 1 = 1 : x/2 가 성립하고, 이로부터 이차 방정식 x²=2 를 얻는다. 그래서 x = √2 이다.
이렇게 전지의 폭에 대한 길이의 비를 √2 로 택하면, 반으로 자르는 과정에서 이 비가 항상 유지된다. 1 : √2 는 황금비는 아니지만 눈으로 보아서 그렇게 큰 차이가 나지 않는다. 이렇게 도형의 닮은꼴, 비례식, 이차 방정식, 무리수 등의 수학적 개념이 실생활에 유용한 종이의 재단에 이용된다.
(A4와 B4의 차이)
앞에서 A4 용지의 폭에 대한 길이의 비는 약 1.414였다.
눈치챘겠지만, 이 값은 실제로 √2 를 가리킨다.
단지 제조 과정에서 편의를 위해 근사값을 택했을 뿐이다.
그런데 왜 297mm×210mm일까. A4 용지의 전지를 A0 라고 하는데, A0 의 규격은1189mm×841mm이다.
더 복잡한 수치다. 그런데 A0 용지의 넓이를 계산해보면 999949mm ² 임을 알 수 있다.
이는 1000000mm ² , 즉 1m² 의 근사값이다.
A0 는 폭에 대한 길이의 비가 이고 넓이는 1m ² 가 되도록 만든 종이이다.
이를 절반으로 자르는 과정에서 A1, A2, A3, A4 등의 ‘에이(A)판’ 용지가 만들어진다.
B4와 B5 용지도 많이 사용된다.
이런 종이도 A판과 같은 원리로 만들어진다.
전지 B0의 폭에 대한 길이의 비는 √2이고 넓이는 1.5m² 가 되도록 규격을 1456mm×1030mm로 정했다.
이를 절반으로 자르는 과정에서 B1, B2, B3, B4, B5 등의 ‘비(B)판’이 만들어진다.
A판과 B판의 모든 용지가 서로 닮은꼴(A0와 B0의 닮음비는√1.5 )이기 때문에, 적절한 비율로 확대하거나 축소해서 다른 용지에 복사할 수 있는 또다른 이점이 있다.
13은 저주의 숫자?
서양에서는 13, 특히 13일과 금요일이 겹치면 불길한 날로 여긴다.
최후의 만찬에 예수와 12제자를 포함한 13명이 참석했고, 예수가 십자가에 못 박힌 것이 금요일이기 때문이라는 설이 가장 잘 알려져 있다.
음악가 바그너는 13을 불길한 수라고 간주하지 않고 오히려 자신을 나타내는 수라고 생각했다.
바그너의 이름 '리하르트 바그너(Richard Wagner)'는 모두 13개의 알파벳으로 이루어져 있다.
그뿐 아니라 그가 태어난 연도는 1813년이어서 각 자리값을 더하면 1+8+1+3=13이 된다.
또 바그너는 1883년 2월 13일 사망했는데, 그가 죽은 날은 13일이고 1883년의 앞뒤 숫자도 13이다.
미국 캘리포니아의 새너제이에 있는 '윈체스터 미스터리 하우스'는 관광 명소 중의 하나다.
사라 윈체스터라는 미망인이 1884년에 착공, 38년 동안 지은 이 저택은 1백60개의 방과 2천개의 문, 침실 13개 등으로 이루어져 있는데, 기괴한 구조뿐 아니라 집의 구석구석에 13을 반영한 것으로도 유명하다. 침실이 13개 있는데 그중에서 13번째 침실에는 13개의 창문이 있으며, 창문은 13조각의 유리로, 온실은 13개의 둥근 지붕으로, 나무 마루는 13개의 부분으로 이루어져 있는 등 13이라는 수를 여기 저기서 찾아볼 수 있다.
집 주인은 밤마다 찾아오는 악령들을 교란시키기 위해 같은 방에서 자는 법이 없었다고 한다.
이상의 작품 중 가장 잘 알려진 '오감도'의 첫 번째 시 '13인의 아해가 도로로 질주하오'는 제1의 아해부터 제13의 아해까지가 반복되는 구조로 되어 있다.
이 시가 억압된 일제 치하에서의 실존적 불안을 나타낸다고 볼 때, 서양에서 터부시하는 수 13을 의도적으로 동원했으리라는 해석이 유력하다.
또 당시 우리나라의 도(道)가 13개였기 때문에 13인의 아해가 식민지 조국을 상징한다는 견해도 있다.
내일은 영화의 제목이기도 한 '13일의 금요일'. 서양의 미신적인 관습까지 따를 필요는 없겠지만, 13일의 금요일이라고 하루쯤은 긴장해 보는 것도 일상의 지루함을 덜어내는 한 방안이 될 것 같다.
어떤 수박을 사야할까?
매일 사용하는 세수 비누나 두루마리 화장지는 처음에는 아무리 써도 줄어들 것 같지 않다.
그러다가 뭉치가 작아지기 시작하면 금방 닳아 없어지고 만다.
이럴 때, 그 이유를 곰곰이 생각해 스스로 해답을 찾게 되면, 그야말로 그 순간부터 갑자기 수학의 재미를 느끼기 시작할 것이다.
이 두 가지 경우는 똑같은 원리에 의해 일어난다.
즉, 닮음비와 넓이의 비, 부피의 비의 관계가 그것이다.
비누의 가로x세로x높이의 길이가 각각 처음의 1/2로 줄어들면 그 비누의 부피는 1/8로줄고, 두루마리의 반지름이 1/2일 때 그 두루마리 화장지의 길이는 1/4이다.
과일 가게에서 과일을 고를 때에도 닮음비를 알고 있으면 이득을 본다.
할인점 식품매장에 가면 수박을 반으로 잘라서 파는 모습을 종종 볼 수 있는데 이에는 닮음비를 이용한 교묘한 상술이 숨어있다.
5,000원을 가지고 수박을 사려는데 지름이 20cm인 수박이 1,000원이고 지름이 40cm인 수박이 5,000원이라면 어떤 걸 골라야 할까?
얼핏 생각하기에 20cm인 수박 다섯 개를 사는게 훨씬 이익일 것 같지만 따져보면 그렇지가 않다.
닮음비가 1:2이면 부피의 비는 1 대 2의 3제곱 즉, 1:8이다. 따라서 지름이 40cm인 수박과 같은 부피가 되려면 지름 20cm인 수박 8개가 있어야 한다.
빵 3개를 4명에게 나눠주는 비결?
바야흐로 디지털 시대다.
디지털 시대에 더 적합한 것은 '분수'보다는 '소수'라고 할 수 있다.
바로 읽기만 하면 된다. 그런데 아날로그 시계는 시침이나 분침 위치에 따라 시간을 따져봐야 한다.
이 때 필요한 것이 분수적 사고다.
수학사(史)에서도 분수는 소수보다 일찍 등장했다.
고대 이집트 때부터 이미 분수를 광범위하게 사용했는데 주목할 만한 것은 분수를 분자가 1인 단위분수의 합으로 나타냈다는 점이다.
인류 최초의 수학책인 '아메스의 파피루스'에는 '2/5 = 1/3 +1/15'이나 '2/7 = 1/4+ 1/28'과 같이 분수를 단위분수의 합으로 나타낸 기록을 찾아볼 수 있다.
왜 이런 시도를 했을까? 분배를 염두에 두었기 때문이 아닐까 추측할 수 있다.
예를 들어 3개의 빵을 4명이 똑같이 나눠야 하는 상황인 3/4을 생각해보자.
처음부터 3개를 4조각으로 나누려면 힘이 든다.
그런데 일단 빵 2개를 절반으로 쪼개 4명이 각각 한조각씩 나눠 갖고, 나머지 빵 한개는 4등분해 한조각씩 가지면 훨씬 쉽다.
'3/4 = 1/2(2/4) + 1/4'이기 때문이다. 단위분수의 합을 이용하면 균등한 분배 상황을 간편하게 표현할 수 있다.
잘 알려진 이야기 하나.
옛날 아라비아의 어떤 상인이 자기 재산인 낙타 17마리를 큰아들은 1/2, 둘째 아들은 1/3, 셋째 아들은 1/9을 가지라고 유언하고 죽었다.
문제는 17이 2, 3, 9로 나누어 떨어지지 않아 1/2, 1/3, 1/9을 정수로 구할 수 없었다는 것.
삼형제가 낙타를 놓고 싸움을 계속할 때 지나가던 노파가 자기가 타고 있던 낙타 한마리를 보태줬다.
낙타가 18마리가 되자 삼형제는 1/2인 9마리, 1/3인 6마리, 1/9인 2마리를 각각 가질 수 있었다. 게다가 9마리, 6마리, 2마리의 합은 17마리이므로 노파도 희사했던 자기 낙타를 다시 돌려받았다.
모든 사람이 윈-윈하게 된 비결은 '1/2 + 1/3 + 1/9'이 1이 아니라 17/18이기 때문이다.
사다리 타기의 수학
사다리 타기가 출발점에서 도착점으로 가는 함수인 것은 분명합니다.
핵심은, 다른 곳에서 출발하면 항상 다른 곳에 도착한다는 것입니다.
즉 injection (일대일함수) 이라는 것만 보이면 정의역과 공역이 유한집합이고
원소 개수가 같기 때문에 bijection 이 될 수밖에 없습니다.
그런데 사다리는 도착점에서 시작하여 거슬러 올라갈 수도 있습니다.
즉 역함수가 존재합니다. 따라서 bijection (일대일 대응) 입니다.
만족하지 못하셨습니까?
좀 더 구체적으로 생각해 보겠습니다.
만약 서로 다른 두 곳에서 출발하여 같은 곳에 도착했다고 합시다.
그러면 그곳에서 사다리를 거슬러 올라가면 어느 곳에선가
두 갈래로 갈라진다는 이야기인데 사다리의 규칙상
항상 한가지 방법으로 갈 수밖에 없기 때문에 그것은 있을 수 없는 일입니다.
따라서 injection, 따라서 bijection 입니다.
두 집합{사다리 참가자들} {내야할 금액} 사이의 1대1 대응관계를 유념하면서 생각해 보세요.
우선 사다리의 수평선을 잘 배열하면 항상 수평선이 각 높이에서 하나씩만 있게 할 수 있습니다
고스톱 칠 때 패 돌리는 방법
작년 가을에 고스톱을 치다가 '고스톱은 꼭 세 명 씩만 쳐야하나? 자기는 광 팔기 싫으니 꼭 끼워 달라고 했을 때 네 명이 칠 수는 없는 것일까?' 등의 생각에 패 돌리는 방법에 숨어 있는 수학에 대해 살펴 보았다. 그랬더니 의외로 간단해서 좀 똑똑한 중1 학생의 약수와 배수 단원의 심화학습이나 고1 보통학생의 관심 끌기 내용으로 이용하면 어떨까 해서 적어 본다.
먼저 일반적으로 세 명이 치는 경우이다.
한 사람에게 주는 화투장 수를 a라 하고 바닥에 까는 장 수를 b라 했을 때, 가능한 a, b의 쌍이 우리가 구하는 해가 된다. 해의 조건은 바닥에 엎어 놓는 화투장의 수에서 얻을 수 있다.
우선 화투장의 총 수는 48(=4×12)이므로 바닥에 엎어 놓는 화투장의 수는 48-(3a+b)로 나타낼 수 있다. 그런데 이것은 세 사람에게 처음에 나누어준 화투장의 총 수 3a와 완전히 같아야 한다.(왜? 나가리가 되지 않기 위해서) 즉 48-(3a+b)= 3a……(*)에서b=48-6a=6(8-a), 오호 a는 8보다 작은 자연수이고 이 때 b는 6의 배수이다.
따라서 가능한 첫 번째 해는 a가 7일 때 b는 6, 일반적으로 패를 돌리는 경우이다.
역동적인 화투를 치고 싶다면 a=6, b=12인 방법으로 패를 돌리면 되겠다. 먹을 게 없어서 고민할 확률이 줄어 들겠지. 물론 선의 동의가 필요하겠지만. 이론적으로는 (a=5, b=18), … 등이 가능하겠지만 실전으로 삼기에는 무리겠다.(경험칙은 가치있는 지식이다!)
두 명이 맞고를 치려고 한다면 식 (*)을 변형하면 되겠다. 즉 48-(2a+b)=2a에서 b=4(12-a)를 만족하는 (a, b)를 구하면 된다. (11,4), (10, 8), (9, 12) … 등이다. 일반적으로 치는 방법은 두 번째 해인데 변화를 추구한다면 방법은 많은 셈이다.
'광 팔기'는 세 명이 치는 것이 가장 재미있게 칠 수 있다는 전제하에 같이 치지 못하는 사람들에 대한 심리적, 금전적 보상의 성격이 짙다. 만약 광 팔기 없이 다 같이 치려면 어떻게 패를 나누어야 할까?(아이들에게 연습문제로 내 보자.) 네 명이 치는 경우라면 바닥에 8장 깔고 한 사람 당 5장 씩 잡으면 큰 무리는 아닌 것 같다. 다섯 명이 함께 치려면 바닥에 8 장 깔고 손에 4장 씩... 아무래도 3점 내기 힘들겠다.
하여튼 다음에 여럿이 모여 고스톱을 칠 때 칠 만 한지 한 번 시도해 보자. 광 파는 친구가 심심하다고 느낄 때.
수학의 미란다 법칙
대부분의 학생들은 중학교 2학년 도형의 성질이라는 대단원에 들어서게 되면 이전과는 다른 학습부담을 느끼게 된다.
내심 수학에 자신있어 하는 학생들도 진지하게 상담을 해오는 경우가 종종 있는데 이는 그 단 적인 증거라 할 수 있겠다.
'이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다.'라는 것을 증명하고 난 바로 다음 '두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형이다.'를 증명하여야 하니 학생들은 당연해 보이는 것을 왜 또 증명하여야 하는가 하고 답답하기도 할 것이다.
그런데 이런 답답함을 느끼는 사람은 비단 학생들뿐이 아닌 것 같다.
빨간 불이 켜져 있는 신호등을 무시하고 달려오는 차를 붙잡은 교통경찰관도 마찬가지인 경우가 종종 있기 때문이다.
교통법규를 눈앞에서 위반해 놓고도 잘 달리는 차를 왜 세우느냐고 따지는 운전자에게 뭘 잘못했는지는 자신이 더 잘 알지 않느냐는 식으로 상대방을 무시한 채 딱지를 발급할 수는 없다.
법을 어긴 사람에게 벌을 줄 때 그 사람이 무엇 때문에 벌을 받아야 하는지 모르는 경우 그 이유를 확실히 알게 하고, 또는 억울하게 죄를 뒤집어쓰는 일이 없도록 그 억울함을 호소할 수 있는 변명의 기회를 주어야 한다는 법의 정신이 만들어낸 '미란다 원칙' 때문이다.
여러분들도 외국영화에서 범인과의 쫓고 쫓기는 추격전 끝에 범인을 잡은 형사들이 그 뻔한 죄인에게 자신의 죄명을 말로써 확인하는 장면을 한 번쯤은 보았을 것이다.
그렇다면 이처럼 당연한 것을 주먹을 휘두르거나 윽박지르지 않고 왜 그런 결론이 나오게 되었는지를 차근차근히 밝히는 서구인들의 습관은 어디에서부터 비롯된 것일까? 그들의 이러한 태도는 수학에서의 증명법과도 무관하지 않은데 이러한 습관이 법의 정신에 반영된 결과가 '미란다 원칙'이라면 수학의 정신에 반영된 결과는 유클리드 기하학이 따르고 있는 '증명법'이라고 할 수 있을 것이다.
영화속 이야기
영화 '쥬라기 공원'을 재미있게 본 사람들은 많겠지만, 그 영화에 수학자가 한 사람 나왔다는 사실을 기억하고 있는 사람은 많지 않을 것이다.
까만 안경을 쓰고, 키가 큰 사람이었는데, 영화 중간에 부상(!)을 입는 바람에 공룡을 물리치거나, 꼬마 친구들을 보호하는데는 별다른 활약을 보이지 못한 인물이었다.
쥬라기 공원에 왜 수학자가 등장했을까? 그는 인위적으로 조성된 살아있는 고대 공룡 공원에 대한 평가를 위촉받은 소위 '전문가' 중의 한 사람이었다.
다른 전문가(주인공)들이 고대 동·식물학자였던 점에 비추어 보면, '글쎄, 수학자가 왜 공룡 공원에 대한 전문가가 되는거지?' 하고 충분히 생각해 볼 만 하다.
그가 영화 속에서 맡은 역할을 살펴보자.
헬리콥터를 타고 공원에 조성된 섬으로 들어가는 영화의 첫 부분에서 그 수학자가 주인공 여자-고대 식물학자에게 묻는 질문은 "혼돈이론을 아십니까?" 였다.
그는 영화 진행 과정에서 이 이론을 기반으로 계속 공룡 공원의 미래에 대하여 부정적인 의견을 내어 놓았고, 마치 그의 이론이 맞아 떨어지는 것처럼 공원에서는 엄청난 불상사가 발생하였다.
예로부터 과학자들은 모든 자연 현상을 관찰하며 그것을 식으로 나타내어 앞으로의 모습에 대해 예측할 수 있기를 갈망해 왔다.
그런 바램은 실험실 안에서의 여러 단순화된 상황에 대해서는 상당히 성공하였지만, 자연 그대로의 현상에 대해서는 실패하기 일쑤였다.
대기, 복잡한 해류, 야생동물들의 수와 변동, 심장과 뇌의 진동 등 불규칙적이고 변덕스러운 현상도 예측할 수 있고 식으로 나타낼 수 있음을 밝혀낸 것이 바로 혼돈(chaos)이론이다.
chaos현상을 연구하는 사람들은 그 현상의 무질서함이 '창조'의 역할을 한다는 것을 알아냈다.
때로는 안정되고 때로는 불안정한, 때로는 유한하고 때로는 무한한, 하지만 언제나 살아있는 매력을 지닌, 어느 것도 똑같지 않고 복잡한 형태를 만들어 내는 것이 자연 현상이다.
그러나 그런 현상 중에는 부분적으로는 복잡하지만 전체적인 모습은 안정적인 현상들이 의외로 많다.
예를 들어 기상 상태가 극도로 불안정할 때 곧잘 나타나는 번개의 모습에서 어느 가지의 모습도 똑같지는 않지만, 그 부분적인 모습과 전체적인 모습이 상당히 비슷하다는 것을 알 수 있다.
이렇듯 chaos이론은 겉으로는 무질서하게 보이는 현상에도 내적으로는 놀라운 규칙성이 있음을 밝혀낸 이론이다.
혼돈이론은 지난 30년간 서구 과학계에 엄청난 변화를 일으켰으며, 현재 자연 과학 분야는 물론 정치학, 경제학, 공학, 의학, 예술 등에 폭넓게 이용되고 있다.
쥬라기 공원에 혼돈이론으로 무장한 (?) 수학자가 나타난 것도 이 이론을 인정하는 미국사회의 존경심을 보여주는 것이라고 할 수 있다.
건망증과 집중력의 차이-뉴턴
친구 몇 몇을 초대하여 저녁을 대접하던 뉴턴은 포도주 한 병을 가지러 방에서 나갔다가 딴 생각에 사로잡혔다.
늘 그렇듯이 한 번 생각에 빠지기 시작하면 다른 모든 것은 잊어버리게 된다. 뉴턴은 옷을 걸쳐 입고 교회로 가버렸다.
전해지는 이야기가 또 있다.
친구인 스턱켈리 박사가 저녁을 같이 먹기로 하여 뉴턴을 찾아왔더니 식탁에는 이미 요리된 닭이 있는데 뉴턴은 외출 중이었다.
저녁 약속을 잊어버린 뉴턴은 몹시 늦게 들어왔고, 기다리던 스턱켈리 박사는 마침내 닭을 먹기 시작하였다.
그런데 나중에 들어온 뉴턴은 식탁에 앉아 그릇의 뚜겅을 열었다. 뼈만 남은 그릇을 본 뉴턴은 "아 참, 우리가 이미 저녁을 먹었군."이라고 말했다고 한다.
평범한 사람이 이런 일을 벌이게 되면 건망증이 심하다는 평을 듣고 끝나는 일이지만 뉴턴의 경우에는 다르다.
그는 건망증이 심하다기 보다는 집중력이 강하다고 할 수 있을 것이다.
그는 한 번 생각에 빠지면 생각이 꼬리에 꼬리를 물고 일어나 다른 것에는 아무 관심이 없었다고 한다.
우리 주위에도 한 가지일만 잘하는 사람을 종종 볼 수 있다.
보통 때는 없는 듯이 있다가 특별한 때가 오면, 예를 들어 춤을 출 때라든가, 수학 경시대회 때라든가, 영화에 대하여 이야기할 때라든가, 눈에서 빛이 나면서 적극적으로 자신의 능력을 발휘하는 사람이 있다. 뉴턴도 바로 그런 사람이었던 것이다. 수학, 과학에 대한 생각을 시작하면 다른 것은 아무 것도 보이지 않는 그런 집중력을 가진 사람이었다.
그리고 그의 이런 집중력이 바로 그의 위대한 업적의 원동력이었을 것이다.
그가 사과나무에서 사과가 떨어지는 것을 보고 만유인력을 발견했다는 이야기는 아마도 이렇게 다른 사람은 그냥 지나쳐 버리는 어떤 현상의 의미를 집중적으로 파고들어 과학적으로 분석해내는 능력을 빗대어 생긴 이야기일 것이다.
뉴턴은 그 시대의 수학자들 사이에 알려진 다양한 어려운 문제 중 어느 것도 풀지 못한 것이 없었다고 알려져 있는데 그와 비숫한 시기에 살았던 라이프니쯔는 "인류 역사상 뉴턴이 살았던 시대까지의 수학을 놓고 볼 때, 그가 이룩한 업적이 반 이상이다."라고 말할 정도로 그가 수학에 관하여 이룬 업적은 엄청난데 고등학교에 가야 그 내용을 맛볼 수 있는 것은 매우 애석한 일이다
아라비아인들이 보존한 인류의 재산
인류가 세계 문화의 많은 부분을 보존해오는 데 있어서 상당히 중요했던 것은 아라비아인들이 그리스와 인도의 해박한 지식을 잘 보존하고 발전시켰다는 데 있다.
아랍권에 대해 편견을 갖고 있는 사람들에게는 근대 서양 과학이 이슬람 과학 위에서 싹텄다면 어리둥절한 이야기가 될 것이다.
그러나 과학 용어의 어원을 따져보면 이슬람 문화가 서양에 끼친 영향이 쉽게 눈에 띈다.
많은 별 이름이, 특히 희미한 별 이름은 대부분 아라비아어이고 알칼리, 알코올 등 자연과학에 등장하는 용어들 중 많은 것이 아랍어에 기원을 두고 있다.
'대수(代數, algebra)'라는 말도 그 주제에 관한 알-화리즈미의 논문 < al-jabr>으로부터 유래되었다.
이 제목은 그대로 번역할 때, '재결합과 대립의 과학' 또는 '이항과 소거의 과학'이 된다.
현재 전해지고 있는 이 책은 유럽에 라틴어 번역 본으로 알려지면서 'al-jabr' 또는 'algebra'가 만들어진 것이다.
또, 1857년에 라틴어 번역 본으로 발견된 알-화리즈미의 책은 "알고리트미(algoritmi)가 말하기를, ..."로 시작되고 있다.
여기서 '알-화리즈미'의 이름이 '알고리트미'로 변하였고, 그것은 현재 어떤 특별한 방법으로 계산하는 기술을 의미하는 '알고리즘(algorithm)'이 되었다.
그러면 이슬람에서 학문이 융성하게 된 이유는 무엇이었을까? 마호메트가 창시한 이슬람교의 영향 때문이었을 것이다.
그는 '지식의 탐구는 천국에 이르는 길'이라고 가르치면서 무덤에 들어갈 때까지 지식을 갈구할 것을 유언했다.
마호메트의 이런 소망이 이후 아랍인들에게 지식을 구하기 위해서는 동방으로의 탐험도 마다하지 않는 모험심과 열정을 불어넣은 것으로 보인다.
바그다드의 회교왕들은 학문의 후원자가 되어 뛰어난 학자들을 궁정으로 초대했었다.
그리하여 천문학, 의학, 수학 등에 관한 인도와 중국, 그리스의 많은 저작들이 부지런히 아라비아어로 번역되었으며 그 덕분에 후에 유럽 학자들이 그것을 라틴어 및 그 밖의 다른 언어로 번역할 수 있었다. 아라비아 학자들의 작품이 없었다면 암흑의 중세 시대를 거치는 오랜 동안 많은 과학 유산이 돌이킬 수 없이 잊혀져 버리고 유럽 근대 문명이 꽃피우는 것은 어려웠을 지도 모른다.
알-만수르 왕의 통치기간 중에 브라마굽타의 저작들이 바그다드(약 776년)에 전해졌고 아라비아어로 번역되었다.
이것이 바로 인도 숫자가 아라비아 수학에 전해진 계기였다고 전해진다.
「아라비안 나이트」의 이야기로 잘 알려진 왕인 하룬 알-라시드의 아들인 알-마문의 통치 기간(809년 ~833년) 중에 살았던 가장 유명한 수학자인 알-화리즈미(al-)는 대수에 관한 논문과 인도 숫자에 관한 책을 썼는데, 그 두 가지 다 12세기에 라틴어로 번역되었을 때, 유럽에 엄청난 영향을 끼쳤다.
페르시아, 메소포타미아, 북아프리카, 스페인에까지 영토를 확장했던 이슬람제국은 이후 쇠퇴기에 접어들게 된다.
터키족의 침입, 십자군과의 전쟁 등을 겪고 몽고족의 강력한 침략을 당하여 위축된 이슬람 제국은 결국 1492년 스페인에 전복되고 말았다.
서양 과학이 발달하기 시작하는 12, 13세기에 유럽 학자들은 그리스와 아랍의 과학 문헌들을 라틴어로 옮기는 작업을 대대적으로 펼쳤다.
과학사에서 '번역의 시기'라고 불리는 이 시대에 거의 대부분의 과학책들과 철학책들이 번역된 것이다.
이로써 유럽인들은 5세기에서 10세기에 걸쳤던 과학의 암흑기를 벗어남과 동시에 자신들의 연구 업적을 축적해나갈 발판을 마련한 것이다.
아라비아인들이 중세의 암흑시대에 세계의 많은 지적 재산을 관리하여 후대의 유럽인들에게 넘겨주지 않았더라면 17세기의 과학혁명이 가능하지 않았으리라고 장담하는 역사가들도 많다. 이슬람의 유산은 과학혁명기의 위대한 과학자들이 어떤 문제에 부딪쳤을 때 어떤 방식으로 풀어 나가야 할지에 대한 지침을 주었던 것이다.
데카르트 1 : 좌표를 발견하다.
눈뜨기 힘든 아침 시간, 같은 또래의 보통 소년들과는 달리 제 좋을 때까지 침대에 누워 휴식을 취해도 좋다는 허락을 교장 선생님으로부터 받은 한 소년이 있었다.
그가 바로 17세기 근대 수학의 기수, 데카르트 였다.
근대 과학의 성립을 사상적으로 뒷받침한 철학자이기도 한 그는 "생각한다.
고로 존재한다."라는 말로 우리에게 더욱더 잘 알려져 있다.
어려서부터 허약하였던 그는 자신의 학교 생활을 뒤돌아보면서 침대에서 보낸 조용한 아침의 명상이 자신의 철학과 수학의 참다운 원천이었다고 얘기한다.
그 예에 해당하는 일화가 있다.
그가 처음으로 도입한 좌표 개념의 발견과 관련된 일화인데, 침대에 누워 천장에 붙어있는 파리를 보고 파리의 위치를 나타내는 일반적인 방법을 찾으려고 애쓰다가 '좌표'라는 발상을 하게 되었다는 것이다.
중학교 1학년 함수 단원을 공부하면서 모눈종이 위에 (1, 2), (-2, 3)와 같이 좌표를 이용하여 점을 찍어 본 학생은 너무도 당연하고 상식적인 좌표의 사용이 뭐 그리 대단한가 하고 의아해할 수도 있다. 그러나 우리가 이 일화에서 유심히 보아야 할 것은 천장에 붙어 있는 것이 얼룩과 같이 고정된 것이 아닌 움직이는 물체, 즉 파리라는 것이다. 파리가 움직이면 x의 값이 변하면서 y의 값이 따라서 변화한다. 만약 파리가 x축, y축이 만든 직각의 이등분선을 그리며 움직이면 이 직선은 ''라는 식으로 간단히 나타낼 수가 있는 것이다.
직선뿐만 아니라 원, 타원, 쌍곡선과 같은 기하학적 도형도 모두 식으로 나타낼 수 있다.
따라서 이 이야기는 수의 성질을 연구하는 대수학과 도형의 성질을 연구하는 기하학을 하나로 묶어 연구한 데카르트의 수학하는 방법(이를 '해석기하학'이라 한다.)의 발견을 귀띔해 주는 일화인 것이다.
어쩌면 우리는.. ㅠㅠ;
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